German · February 27, 2022

Behoben: Wie Man Runge-Kutta-Methoden Mit Minimalen Fehlerspannen Korrigiert.

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    Es lohnt sich, diese zu lesen, um festzustellen, ob Sie Runge-Kutta-Techniken mit einem Fehlercode erhalten, indem Sie mit minimalen Fehlern arbeiten Ränder.Runge-Kutta (RK)-Modelle sind eine völlig neue Klasse, die aus allen Methoden stammt, die die meisten dieser Steigungsinformationen an mehr als einem einzigen Punkt verwenden, um ein neues Paket für den zukünftigen Teil der Zeit zu finden. Der lokale Fehler zum Abschneiden des Euler-Verfahrens ist unvermeidlich O(h2), was letztendlich zum tatsächlichen numerischen Prozess erster Ordnung führt.

    Was sind normalerweise die Grenzen der Runge-Kutta-Methode?

    Die typischen Nachteile von Runge-Kutta-Operationen sind, dass ihre Bestimmung viel länger dauert als mehrstufige Methoden mit vergleichbarer Detailgenauigkeit, und dass sie keine guten Gesamtschätzungen preisgeben.

    Einschränkungen für Runge-Kutta-Integration. Einstufiger Prozess

    • J. Carr
    • Physik

      JACM

    • 1958

    Wie besonders ist Runge-Kutta?

    Beachten Sie, dass das Runge-Kutta-Verfahren im Vergleich zum Euler-System normalerweise viel genauer ist. Tatsächlich würde ich sagen, dass die Esta Runge-Kutta-Methode wahrheitsgemäßer ist als die Euler-Methode, bei h = 0,05 zusätzlich zu h = 0,1. Gleichzeitig beobachten wir die Zuverlässigkeit des Matches in den Equity-Plots, die aufgrund der exakten Lösung in Abb. 6-36 die geringste Anpassung an die Anpassung finden.

    Diese “Stabilität” der Integration der Kutta-Nachbarschaftskaufmethode mit einer ziemlich einfachen Differentialgleichung wird untersucht, und danach wird sie untersucht Wahrscheinlich können diese Arten von Fehlergrenzen auch zu entsprechenden stabilen mehrstufigen (Extrapolations-) Methoden erweitert werden, ähnlich wie Das Adams und Tricks gewöhnlicher Differentialgleichungen.

    • Z. Mathe. Phys., v

    *Diese Berechnungen sind im Allgemeinen darauf zurückzuführen, dass einige Berechnungen, die Et<*2 sogar a3 in (5.12) schätzen, auf einem IBM 1620-Computer für jemanden am Stevens Institute of Technology erstellt wurden

      Wie ist die Fehlerfolge beim Runge-Kutta-Verfahren?

      Der Fehler in jedem Schritt des entwickelten Euler-Verfahrens beträgt ungefähr C’h3, ebenso wie dieser Fehler bei einer zusammenhängenden Aktion beim Runge-Kutta-Verfahren dritter Ordnung zweifelsfrei eindeutig C”h4 ist, wobei C ‘ und C” sind Konstanten, die normalerweise während eines Problems abhängen, aber nicht in Bezug auf die Bittiefe.

      Während einzelne Autoren korrespondierten, dass die Lektionen, die sie oder er aus mathematischen Ein-Schritt-Methoden (Runge-Kutta) zur Integration mittelmäßiger Differentialgleichungen gelernt hat, stabil sein werden, ist das eine Unterschätzung und für Rundungsfehler haben akzeptable Gleichungen angegeben, um Ausbreitungsfehlerbeschränkungen zu überwinden, da diese Stabilität anzeigen. Rutishauser [1] begründet die Stabilität damit, dass es auch nur eine Software für meine approximierende Differenzengleichung gibt, und Hildebrand [2] berechnet ebenfalls eine Fehlergrenze, die der einfachsten (Euler-)Diffusion entspricht. Allerdings ist die letztgenannte Grenze wahrscheinlich manchmal kein genauer Hinweis auf die Zuverlässigkeit des Körpers.

      runge Kutta-Methoden auf minimale Fehlergrenzen

      Der Zweck dieser Situation ist nun, die folgende “Stabilität” im Zusammenhang mit der gerichtlichen Anordnung der Kutta-Methode aufgrund der meisten Integration der zu untersuchen gewöhnliches differentielles Bildschirmbild dy/dx = Æ'(x,y), (1) . innerhalb des Y) Æ'(x, hat eine kontinuierliche partielle Ableitung erster Ordnung in D, Ihrem Bereich, über den die Integration buchstäblich durchgeführt werden soll. (Wenn Sie die meisten Beweise ändern, werden Sie feststellen, dass die besondere Bedingung kann durch diese Lipschitz-Verfahrensbedingung ersetzt werden.) Da das Kutta-Verfahren aus Sicht mit solchen Schrittverfahren das komplexeste ist, sollte es offensichtlich sein, welchen leider ähnlichen Fehlermargen das Potential für verschiedene Zusatzausrüstungen im Einzelschrittmodus begegnen kann Laden Sie die gleiche Reihenfolge oder einen reduzierten Teil herunter (insbesondere die Methode der Gill-Variante, und dies ist wahrscheinlich auch die am weitesten verbreitete in der Maschinenintegration, wodurch Sie sich den Rückruf ersparen.) wie Adams, und zu Software für gute Differentialgleichungen.

      Welche Runge-Kutta-Methode ist genauer?

      RK4 ist wahrscheinlich eine manchmal schockierende Runge-Kutta-Formel höherer Ordnung, die die gleiche Anzahl von Schritten benötigt wie die Präzisionsordnung (dh RK1 = 1. Schritt, RK2 = 2 RK3-Wege, = 3 Schritte, RK4 = Ansätze, 4 RK5 = 6 Stufen). ). . ).

      Wenn die Gleichung in den Versionen dλ/dx gleich ∂Æ'(x,y)/ˆ‚y λ (2) für alle oben genannten Normalwerte ist Gleichungen, das Differential a Æ’v ( x , y) < 0 bezüglich der Domäne D, das mit der gewöhnlichen Gleichung verknüpfte Differential ist in der Tat bekannt stabil D in und, da Sie sehen, die Abweichungen von der Randbedingungen immer ausreichend klein waren, nimmt der Absolutwert bezogen auf seinen gemeinsamen Fehler mit dem Aufbau von x ab.< /p>

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    • Todd [3], Milne Rutishauser [4], [1] und andere haben gezeigt, dass eine Reihe von mehrstufigen exakten Integrationsmethoden instabil sind, was, würde ich sagen, die Differenzengleichung plausibel machen, selbst wenn mein differentielles Szenario ist stabil für Wege, die Parasiten vieler go-Größen h enter sind. Für diesen vierten strategischen Prozess sa Kutta, wie unten gezeigt, kann dies tatsächlich der Fall sein; Bei einer Differentialgleichung bleibt der Fehler, der sich zur Hilfe der Approximationsdifferenz ausbreitet, durch den Besuch eines ausreichend kleinen (aber nicht wirklich kleinen!) Schritts h begrenzt. und für einen tatsächlich gegebenen Wert x sind die Grenzen für jeden fortgepflanzten Fehler to um den gegebenen Betrag kleiner, abhängig von dem Bruchteil des Rundungsfehlers, wenn die Schrittweite zu irgendeiner Zeit reduziert wird. Ähnliche Behauptungen können online gewinnbringend sein (werden hier aber nicht gut sein), wenn andere einstufige Prozesse in Betracht gezogen werden. Da keine “unendliche (Wortmaschinen-) Raumrundungsoperation” konvergiert, wenn h zu diesen Typen wird, erhalten Sie Null.

      Darüber hinaus befindet sich direkt darunter ein Algorithmus zur Bestimmung aller Schrittweiten basierend auf jeder von allen unseren partiellen Ableitungen stammenden, um dabei zu helfen, den Gesamtfehler innerhalb allgemein gegebener Grenzen zu halten.

      runge kutta Fachtechniken mit minimalen Fehlergrenzen

      Die stereotype Kutta-Methode. Gibt [5] den Schatz bei der y (i + 1)-ten Breite relativ zum tatsächlichen Verständnis beim i-ten Schritt für plus alle Schrittweiten h, wie folgt: y< sub>i+ 1 ist die wie bei yi + h/6(k1 + 2k2 + 2k3 >). + k4) O(h5) + k1 = Æ'(xi, yi) k2 = Æ'(xi + h/2, yi + k1/ sub >h/2) < k3 entspricht Æ'(xi + h/2, yi K2 + /sub >h/2) < k4 = Æ'(xi + Sie können wahrscheinlich yi K3 + tun < und sub>h) (3) Vernachlässigen Sie irgendeinen Term O(h5), berechnen Sie den genauen Wert, der mit yi+1 zu tun hat, hier y heißt ti+1, kann in vielen Fällen nur ungefähr sein.

      Der damit verbundene Fehler, bestehend aus einem Trunkierungsfehler auf jeder Ebene, wird von Bieberbach 7] [6 [8] oder Lotkin bestimmt. Dies stellt sicher, dass Ihr h klein genug ist, dass fast alle Kürzungsfehler auf jeden einzelnen Schritt beschränkt sind, der in yi, in |yi+1 -y t< aufgezeichnet wird /sup>i+1| ‰¦ Ci+1h5, (4) wobei Ci+1 ‰§ 0 nur eine funktionale Funktion von ist, da i , die Rolle von Æ’ (x, y) und seinen Subtypen einer bestimmten ersten drei Ordnungen; und vielleicht ist sogar ayti eine wahre Lösung, die die Gleichungen (3) sehr gut abschneiden kann, weil der O(h5)-Term dies nicht tut erscheinen. Wenn alle Funktionen la und Ableitungen aller eigenen ersten Ordnungen von drei materialisiert und in der Nähe eingeschränkt sind, dann werden alle Ci in der Varietät enthalten sein.

      Angenommen, es gibt einen tatsächlichen schwerwiegenden Fehler µ1 in yi, als er der i-te Hauptschritt war, der entweder mit der letzten Kürzung zusammenhängt , Weil höchstwahrscheinlich ein guter Rundungsfehler.

      dann die berechnete Relevanz y*i+1 (sie soll dem wahren Wert von ε entgegenstehen

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